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Falls das Vorstellungsvermögen in Klausuren und mündlichen Prüfungen (erfahrungsgemäß, bei mir zumindest) mal streikt, folgende Merkhilfe aus meiner Studienzeit: die cubisch dichteste Packung hat das C in der Schichtfolge.
Weil ich nicht im Kopf behalten kann , welche Schichtfolge zu welcher Packung gehört, habe ich es unter Belastung meines Vorstellungsvermögens bis an seine Grenzen gerade noch geschafft
Was man in DIN - korrekter Sprache "den Volumenanteil des erfüllten Raumes V(eR)" bezeichnen könnte und den man wie folgt berechnen kann : Die kubisch dichteste Kugelpackung stellt ein kubisch flächenzentriertes Gitter dar , also mit einer Elementarzelle der folgenden Art : Ein Würfel mit je einer Kugel auf den 8 Würfelecken und je einer Kugel in der Mitte der 6 Würfelflächen. Da der betrachtete Würfel die Kugeln auf den 8 Ecken mit acht anderen Würfeln teilt, entfällt auf eine Elementarzelle rechnerisch eine "Eckenkugel". Jede Kugel auf einer Flächenmitte ist jeweils zur Hälfte der betrachteten Elementarzelle zuzurechnen. Bei 6 Flächen also rechnerisch drei Flächenkugeln , insgesamt also vier Kugeln pro Elementarzelle. Das Gesamtvolumen dieser vier Kugeln also : \[ V_K \ = \ 4 \ \cdot \ \frac {4}{3} \ \pi \ r_K^3 \] Da sich eine Eckenkugel mit den unmittelbar benachbarten Flächenkugeln berührt , muss die Fächendiagonale die vierfache Länge des Radius r einer Kugel K haben . Somit gilt für die Länge a einer Würfelkante und daraus folgend für das Volumen der Elementarzelle Z , sowie für den Volumenanteil des erfüllten Raumes φ:Dann versucht man, die Kugeln möglichst platzsparend im Karton unterzubringen und wird feststellen, dass man, wie auch immer man es versucht, eine Raumausfüllung von etwa 74% nicht überschreiten kann.
Das kann ich leider nicht erklären, da ich davon auch keine anschauliche Vorstellung habe. Jedenfalls ist in der Mathematik sehr wohl auch im vierdimensionalen Raum eine Kugel definiert - die Hyperkugel nämlich. Und in einer dichtesten Packung von Hyperkugeln wäre die "Kusszahl" dann 24 (nicht 36), d.h. 24 Hyperkugeln um eine zentrale Hyperkugel herum angeordnet.Wie sieht eine Kugel im vierdimensionalen Raum tatsächlich aus?
Was vermutlich daran liegt, dass es nicht alltäglich ist, sich das vierdimensionale Analogon der Kugel vorzustellen.Meine räumliche Vorstellung streikt dabei längst...
Was vermutlich daran liegt, dass es nicht alltäglich ist, sich das vierdimensionale Analogon der Kugel vorzustellen. Denn wie Sie schon richtig gesagt haben, reduziert sich das dreidimensionale Problem der dichtesten Kugelpackungen im zweidimensionalen Raum auf das Problem der "dichtesten Kreispackung".Meine räumliche Vorstellung streikt dabei längst...
Ich habe ein grundsätzliches Problem damit das Prinzip der dichtesten Kugelpackungen zu verstehen, es wurde in der Vorlesung nur kurz erwähnt. Habe schon versucht es aus diversen Quellen zu lernen, aber irgendwie will mir der Sinn dahinter nicht einleuchten. Mein räumliches Vorstellungsvermögen gibt hier ebenfalls den Geist auf, wie lerne ich das am besten?