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Ich seh mal nach, ob ich meinen Essay von damals wiederfinde, dann poste ich den hierhin.

Ja die Frage war noch aktuell bzw. das Meiste davon war noch ungeklärt. Im Atkins habe ich eigentlich schon nachgeschaut, allerdings wird die Formel dahingeklatscht mit dem Verweis "für eine genauere Herleitung verweisen wir auf die weiterführende Literatur". Die UV-Katastrophe wird dort schön erklärt, wobei ich nicht alles davon auf Anhieb verstanden hatte.

Zitat

Zum Proportionalitätsfaktor in der Boltzmannverteilung : wenn Du in deiner zweiten Gleichung einen solchen einfügst, kürzt er sich doch in der 3. heraus.

Aaaaaach, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht. Und ja ich meinte die erste Gleichung (sollte ich demnächst besser beschriften). Danke für die ausführliche Antwort! Damit wäre eigentlich alles geklärt.

Hallo,

Der Thread ist ja schon älter, u. ich weiss nicht, ob die Frage noch aktuell ist.
Meinst Du mit "initialem Ausdruck" die gemittelte Energie (deine erste Gleichung) ?
Das ist nur ein gewichteter Mittelwert : da nicht alle energetischen Zustände gleich stark besetzt sind, muss jede Energie mit der Zahl der Zustände multipliziert (gewichtet) werden. Um den Mittelwert zu bilden, wird hinterher durch die Zustandssumme dividiert.

Was das Ausbleiben der UV-Katastrophe betrifft, hast Du das mittlerweile herausgefunden ? Bei wikipedia ist es recht gut erklärt. Im alten Rayleigh-Jeans Gesetz gibt es (anders als in Plancks Schwarzkörperstrahlungsgesetz) keinen Nenner, der mit steigender Frequenz die Energiedichte begrenzen würde. D.h. das über die Frequenz integrierte Rayleigh-Jeans Gesetz geht gegen unendlich, wenn man das Plancksche Gesetz einsetzt, erhält man einen konstanten, endlichen Wert.
Zum Proportionalitätsfaktor in der Boltzmannverteilung : wenn Du in deiner zweiten Gleichung einen solchen einfügst, kürzt er sich doch in der 3. heraus.

Ich kann mich noch erinnern, in meinem ersten Jahr einen Essay darüber geschrieben zu haben, damals fand ich alle Informationen im Atkins. Ausnahmsweise empfehle ich dieses Buch dann mal

Ich habe meine Schwierigkeiten damit eine für mich verständliche Herleitung für das Planck'sche Strahlungsgesetz zu finden. In den meisten Fällen wird die Formel einfach nur dahingeklatscht, habe mal trotzdem eine gefunden:

"Die mittlere Energie eines Ensembles solcher Oszillatoren ist

\[ \bar E = \frac{\sum_n N(n) E_n}{\sum_n N(n)} \]

wobei En = n*hv, n=0,1,2... und N(n) die Anzahl der Oszillatoren im Zustand n. Gemäß der Boltzmann-Statistik ist:

\[ N(n) \propto e^{-E_n / k_B T} \]

so dass

\[ \bar E = \frac{\sum_{n} nhv \cdot e^{-nhv / k_B T}}{\sum_{n} e^{-nhv / k_B T}} \]

Mit ß := 1/(k_B T) lässt es sich umschreiben zu:

\[ \bar E = \frac{d}{d \beta} \ln \left( \sum_n e^{-\beta n hv} \right) \]

\[ \bar E = \frac{d}{d \beta} \ln \left( \sum_n e^{-\beta hv} \right)^n \]

\[ \bar E = \frac{d}{d \beta} \ln \left( \frac{1}{1-e^{-\beta hv}} \right)^n \]

Da nun

\[ \ln \left( \frac{1}{1-e^{-\beta hv}} \right) = - \ln \left( 1-e^{-\beta hv} \right) \]

und

\[ \frac{d}{d \beta} \ln \left( \frac{1}{1-e^{-\beta hv}} \right) = \frac{hv e^{-\beta hv}}{1 - e^{-\beta hv}} = \frac{hv}{e^{\beta hv} - 1} \]

erhalten wir

\[ \bar E = \frac{hv}{e^{hv/k_BT} -1} \]

Die Umformungen am Ende (Ableitung, Logarithmengesetze, Benutzung der geometrischen Reihe) verstehe ich soweit eigentlich, was ich nicht nachvollziehen kann ist wie man auf den initialen Ausdruck kommt und die Umformung mithilfe der Boltzmann-Statistik. Denn aus:

\[ N(n) \propto e^{-E_n / k_B T} \]

sollte doch

\[ N(n) = k \cdot e^{-E_n / k_B T} \]

werden. Ich vermisse bei der Umformung einen Proportionalitätsfaktor, wo ist der hin? Die Formel für die Boltzmann-Statistik nehme ich mal so hin, da ich mich damit noch nicht wirklich befasst habe. Woran sieht man, mathematisch betrachtet, dass der Ansatz von Planck im Gegensatz zum Ansatz von Rayleigh nicht zur Ultraviolettkatastrophe führt?