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\[ c^3(H^+) \ + \ K_S \ \cdot \ c^2(H^+) \ - \ [ \ K_S \ \cdot \ c_0 \ + \ K_W \ ] \ c(H^+) \ - \ K_S \ \cdot \ K_W \ = \ 0 \]nach Einsetzen der Werte so : \[ 10^{- \ 18} \ + \ 10^{- \ 12} \ - \ [ \ 10^{- \ 6} \ + \ 10^{- \ 14} \ ] \ 10^{- \ 6} \ - \ 10^{ - \ 14} \ = \ 0 \]Ja, in der Tat schwer zu erklären, und notabene ein interessanter Ansatz (wobei der "weitaus kleinste Term" in diesem Fall übrigens die 10^-20 des Klammerausdrucks wäre, und erst der zweitkleinste dann die 10^-18 ). Hab's der Exaktheit wegen dann auch mal mit der Umkehrfunktion durchgerechnet, die ja zum Glück explizit auflösbar ist, und da ergibt sich für eine Säure mit pK = -2, wenn die Oxoniumionen-Konzentration exakt = 1 µmol/l betragen soll, eine dafür benötigte Ausgangskonzentration c_0 von 0,9900000099 µmol/l, den Rest bis zum einen µmol/l steuert dann das Wasser bei.
Zitat
Und das mit den verschachtelten Wurzeln aus dem Beitrag davor muss ich mir nochmal in Ruhe anschauen...
Ja, in der Tat schwer zu erklären, und notabene ein interessanter Ansatz (wobei der "weitaus kleinste Term" in diesem Fall übrigens die 10^-20 des Klammerausdrucks wäre, und erst der zweitkleinste dann die 10^-18 ). Hab's der Exaktheit wegen dann auch mal mit der Umkehrfunktion durchgerechnet, die ja zum Glück explizit auflösbar ist, und da ergibt sich für eine Säure mit pK = -2, wenn die Oxoniumionen-Konzentration exakt = 1 µmol/l betragen soll, eine dafür benötigte Ausgangskonzentration c_0 von 0,9900000099 µmol/l, den Rest bis zum einen µmol/l steuert dann das Wasser bei.Betrachten wir einmal die Polynomform im Lichte dieses Beispiels mit zusätzlich Ks = 1 mol/L , also durchaus keine extrem starke Säure . Dann ergibt sich die Polynomform \[ c^3(H^+) \ + \ K_S \ \cdot \ c^2(H^+) \ - \ [ \ K_S \ \cdot \ c_0 \ + \ K_W \ ] \ c(H^+) \ - \ K_S \ \cdot \ K_W \ = \ 0 \]nach Einsetzen der Werte so : \[ 10^{- \ 18} \ + \ 10^{- \ 12} \ - \ [ \ 10^{- \ 6} \ + \ 10^{- \ 14} \ ] \ 10^{- \ 6} \ - \ 10^{ - \ 14} \ = \ 0 \] Wie bitte erklärt man dem staunenden Lernenden, dass es berechtigt ist , den Term mit dem absoluten Glied zu vernachlässigen ? Falls das Argument sein sollte, dass man auf diese Weise zu einer Gleichung 2. Grades kommt, so würde man dies hier auch erreichen ( und zwar erheblich plausibler ) , wenn man den weitaus kleinsten Term . nämlich den mit der dritten Potenz von c(H+) an Stelle von Ks * Kw vernachlässigen würde.
Was schließlich die Sache mit den Diskriminanten angeht, geht es dabei ja darum, erstmal zu eruieren, wieviele reelle Lösungen die Polynomform exakterweise hat. Wie die nachfolgende Beispielgrafik für eine Säure mit pKs 6,0 zeigt, für positive Ausgangskonzentrationen c_0 prinzipiell stets drei, davon eine positive und zwei negative, was bedeutet, dass wir es für für positive Ausgangskonzentrationen c_0 stets mit dem aufwändigen casus irreducibilis zu tun haben:
Das dagegen, was Sie in Ihren Beiträgen 23 und 24 vom 06.08. mit großem Aufwand hergeleitet haben, scheint ja nix anderes als die altbekannte Formel I für stark dissoziierte Säuren zu sein, nur halt in ihrer ursprünglichen Form mit K_w unter der Wurzel. Und die taugt halt nur für stark dissoziierte Säuren bzw. wenn c_0 <= K_S/100 ist, also bei Ausgangskonzentrationen unter 1 µmol/l für Säuren bis zu einen pK-Wert von 4, bei unter 0,1 µmol/l bis pK 5 usw.
Frage war nun, ob es für das "Loch im Näherungsteppich", also mittelstark dissozierte Säuren/Basen mit einer Ausgangskonzentration unter 10^-6 mol/l irgendeine verlässliche Näherungsformel gibt.
Ohne schwereres mathematisches Geschütz, dh. als echte Näherungsformel, ist dieses Problem wohl nicht zu knacken. Formel II liefert unterhalb von 1 µmol/l durchgängig zu niedrige Oxoniumionen-Konzentrationen, Formel IV dagegen zunächst einmal bis hinunter zu 1 nmol/l (maximal zweifach) zu hohe, und erst danach, wenn wir also ohnehin schon bei einem pH-Wert von fast 7 sind, liefert das dann auch diese Formel, was ich eher als Pyrrhussieg bezeichnen würde.
Womit sich die Vernachlässigung von x auf dessen Quadrat reduziert, was leicht zu zeigen ist: \[ x \ << \ 1 \ : \ \frac {1}{1 \ + \ x } \ \approx \ 1 \ - \ x \] \[ \ ( \ 1 \ + \ x \ ) \ ( \ 1 \ - \ x \ ) \ = \ \ 1 \ - \ x^2 \ \approx \ 1 \]Ausblick : Eine verbesserte Näherung erhält man, indem man im Nenner des ersten Therms von \[ c(H^+) \ = \ \frac {K_S \ c_0 }{K_S \ + \ c(H^+)} \ + \ \frac {K_W}{c(H^+) } \] die Konzentration der Wasserstoffionen nicht einfach vernachlässigt, sondern eine Näherung im Sinne von \[ x \ << \ 1 \ : \ \frac {1}{1 \ + \ x } \ \approx \ 1 \ - \ x \] verwendet.