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Samstag, 19. April 2014, 22:53

Strömungswiderstand und Endgeschwindigkeit - Fallschirmspringer

Ein Fallschirmspringer der Masse m = 80 kg springt aus einem Flugzeug ab ohne zunächst den Fallschirm zu öffnen.

a) Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit v_max, die der Springer vor Öffnung des Schirms erreichen kann unter der Annahme, dass er eine angeströmte Querschnittsfläche von 0,9 m² und einen Luftwiderstandsbeiwert von c_w = 0,38 hat.

b) 1000 Meter über dem Fußboden öffnet er den Fallschirm. Dadurch vergrößert sich schlagartig die Querschnittsfläche auf 25 m² und der Luftwiderstandsbeiwert auf c_w = 1,35. Mit welcher Geschwindigkeit v_E kommt der Springer auf dem Boden an?

c) Nehmen Sie an, dass das Abbremsen von v_max auf v_E beim Öffnen des Schirms in sehr kurzer Zeit passiert, sodass die während dieser Zeit zurückgelegte Strecke vernachlässigt werden kann. Wie viel Zeit vergeht zwischen Öffnung des Schirms und der Ankunft am Boden?

Die Dichte der Luft beträgt ρ = 1,29 kg/m³.

Für a): Der Fallschirmspringer erreicht seine Endgeschwindigkeit (Maximalgeschwindigkeit), wenn die auf ihn wirkende Gravitationskraft ausgeglichen wird durch den Strömungswiderstand D, dann ist die Beschleunigung des Fallschirmspringers gleich null, über Newton II kann man eine Verknüpfung herstellen:

\[ D - F_g = ma = 0 \]

Der Strömungswiderstand D ist definiert als:

\[ D = \frac 1 2 C \rho A v^2 \]

Wobei C der Widerstandskoeffizient, ρ die Dichte der Luft, A die effektive Querschnittsfläche (die Querschnittsfläche senkrecht zur Geschwindigkeit v) und v die Geschwindigkeit des Körpers ist. Einsetzen von D in obige Formel:



\[ \frac 1 2 C \rho A v_E^2 - F_g = 0 \]

Da die Beschleunigung null ist ersetze ich die Geschwindigkeit v durch die Endgeschwindigkeit v_E, Umformung nach v_E:


\[ C \rho A v_E^2 = 2 \cdot F_g \]


\[ v_E^2 = \frac{2 \cdot F_g}{C \cdot \rho \cdot A} \]


\[ v_E = \sqrt{ \frac{2 \cdot mg}{C \cdot \rho \cdot A} } \]

Einsetzen der bekannten Zahlenwerte liefert:

\[ v_E \approx 60 \frac m s \]

Der Fallschirmspringer hat eine Maximalgeschwindigkeit von v = 60 m/s!

b) Die Angabe der Höhe ist hier nicht notwendig, dieselbe Formel mit veränderten Werten:

\[ v_E = \sqrt{ \frac{2 \cdot mg}{C \cdot \rho \cdot A} } \approx 6 \frac m s \]


Der Fallschirmspringer landet mit einer Endgeschwindigkeit von v = 6 m/s.

c) hier bin ich mir nicht so sicher. Da die Beschleunigung konstant ist, und zwar a = - g, handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung auf die ich die Bewegungsgleichungen anwenden kann. Wobei die Höhe h einer Verschiebung Δy entspricht. Ist die Anfangsgeschwindigkeit v0 = 6 m/s oder v0 = 60 m/s? Ich vermute eher letzteres. Ich verwende hierzu folgende Gleichung:


\[ v = v_0 + at \]


\[ t = \frac{v-v_0}{- g} = \frac{54 \ \frac m s}{9,8 \ \frac m {s^2}} \approx 5,5 \ s \]



Der Fallschirmspringer landet in ~ 6 s aufm Boden, nachdem er seinen Fallschirm geöffnet hat. Vom Zahlenwert her klingt das (glaube ich) realistisch. Aber stimmen meine Gedankengänge? Ich bezweifle es.

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Sonntag, 20. April 2014, 11:16

Zu Aufgabe Teil c) würde ich sagen, es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung mit der konstanten Sinkgeschwindigkeit des geöffneten Fallschirms.

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Sonntag, 20. April 2014, 15:43

Das war doch auch mein Ansatz oder wo genau liegt da ein Fehler vor?

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Sonntag, 20. April 2014, 16:12

Dein Ansatz:


Zitat

c) hier bin ich mir nicht so sicher. Da die Beschleunigung konstant ist, und zwar a = - g, handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung

also keine gleichförmige Bewegung mit Fallschirmgeschwindigkeit !

t = s/v = 1000m/(6m/s) = 167s = 2min : 47s

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Sonntag, 20. April 2014, 20:57

Ach soo, danke schön. :)

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Montag, 21. April 2014, 14:21

Da die Beschleunigung konstant ist, und zwar a = - g, handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte
Selbst wenn man die laut Aufgabenstellung zu ignorierende Bremsphase nach Öffnen des Fallschirms berücksichtigen würde, so wäre auch diese Bewegung nicht gleichmäßig beschleunigt. Für die Beschleunigung ergibt sich nämlich ein Ausdruck dieser Form \[a \ = \ g \ - \ k \ v^2\] und somit eine von v abhängige Beschleunigung a : Wobei die linke Seite von \[v_o \ = \ 60 \ m/s \ bis \ v \ = \ \sqrt{ \frac{g}{k}} \] zu integrieren wäre und die rechte Seite nach Integrieren die Zeit ergibt, die für das Abbremsen des Fallschirms von 60 m/s bis auf 6 m/s vergeht: \[ dv \ = \ ( \ g \ - \ k \ v^2 \ ) \ dt\] \[ \frac {dv} { \ g \ - \ k \ v^2 }\ ) \ = \ dt \] Das Integral auf der linken Seite lässt sich durch Partialbruchzerlegung lösen.

Gruß FKS

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