Sie sind nicht angemeldet.

Guten Tag lieber Gast, um »treffpunkt-naturwissenschaft.com« vollständig mit allen Funktionen nutzen zu können, sollten Sie sich erst registrieren.
Benutzen Sie bitte dafür das Registrierungsformular, um sich zu registrieren. Falls Sie sich bereits zu einem früheren Zeitpunkt registriert haben, können Sie sich hier anmelden.

1

Samstag, 23. April 2016, 16:16

Bohrscher Radius a0

Üblicherweise werden quantenchemische Rechnungen in atomaren Einheiten durchgeführt. Die atomaren Einheiten für die Masse, die elektrische Ladung und den Drehimpuls werden dabei auf die Masse des Elektrons, die Ladung des Protons, und das Drehimpulsquantum "h quer" bezogen. Die Permittivität (dielektrische Leitfähigkeit) wird bei der Verwendung atomarer Einheiten zudem in Vielfachen von 4π0 angegeben. Man gelangt zu Formeln in rationalisierten Einheiten, wenn man in dem zugehörigen SI Aquivalent alle Massen, Ladungen, Drehimpulse durch die oben genannten atomaren Größen dividiert. Zeigen Sie, dass die atomare Längeneinheit dem Bohrschen Radius a0 entspricht. Berechnen Sie zudem, welchen Wert die atomare Einheit der Energie (1 hartree) in den Einheiten J und kJ/mol einnimmt.

Tipp:

\[ \hat H = - \frac{\hbar^2 }{2 \ m_e} \Delta + \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \cdot r} \]

Die Einheit von ∆ ist: [∆] = [1/Länge²], [r] = [Länge]. Nutzen Sie aus, dass die beiden Summanden die gleichen Einheiten aufweisen, um die atomare Längeneinheit herzuleiten. Im zweiten Schritt können Sie dann ausnutzen, dass die Dimension von "H" einer Energie entspricht.

Wenn ich die Einheiten einsetze:

\[ \hat H = J^2 \cdot \frac{s^2}{kg} \cdot \frac{1}{Laenge^2} + \frac{1}{\frac{As}{V \cdot Laenge} \cdot Laenge} \]


\[ \hat H = \frac{kg^2 \cdot Laenge^4}{s^4} \cdot \frac{s^2}{kg} \cdot \frac{1}{Laenge^2} + \frac{1}{\frac{As}{V }} \]

\[ \hat H = \frac{kg \cdot Laenge^2}{s^2} + \frac{V}{A} \]

\[ \hat H = J + \frac{V}{A} \]

Da sich das nicht weiter zusammenfassen lässt muss ich wohl irgendwo einen Fehler gemacht haben. Komme aber nicht drauf.

2

Samstag, 23. April 2016, 18:20


\[ \hat H = - \frac{\hbar^2 }{2 \ m_e} \Delta + \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \cdot r} \]
Wenn ich die Einheiten einsetze:\[ \hat H = J^2 \cdot \frac{s^2}{kg} \cdot \frac{1}{Laenge^2} + \frac{1}{\frac{As}{V \cdot Laenge} \cdot Laenge} \]


\[ [ \ e^2 \ ] \ = \ ( \ As \ ) ^2 \ \neq \ 1 \]

Gruß FKS

3

Samstag, 23. April 2016, 18:29

Ach, wie blöd von mir! Dann komme ich auf die Einheit einer Energie, wie nutze ich diese Tatsache jetzt allerdings aus um den Bohrschen Radius a0 zu ermitteln?

4

Sonntag, 24. April 2016, 23:51

Ach, wie blöd von mir! Dann komme ich auf die Einheit einer Energie, wie nutze ich diese Tatsache jetzt allerdings aus um den Bohrschen Radius a<sub>0</sub> zu ermitteln?


Da ist auch für mich guter Rat teuer. Der Bohr'sche Radius hat einige Eigenschaften, , die hier für einen Ansatz in Frage kommen. Nur weiß ich nicht, was man hier verwenden darf. Im Grunde müsste man also von allem, was man verwendet , erst einmal die Richtigkeit zeigen/beweisen.

Aber wie auch immer , das Ergebnis lautet : \[a_0 \ = \ \frac {4 \ \pi \ \epsilon_0 \ \hbar^2}{m_e \ e_0^2}\]

Morgen werde ich aufschreiben , was ich für dieses Ergebnis bemühen musste. Was mehr sein dürfte, als vom Autor angedacht . Also alles andere als eine Musterlösung.

Gruß FKS

5

Montag, 25. April 2016, 16:47

\[ \hat H = - \frac{\hbar^2 }{2 \ m_e} \Delta + \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \cdot r} \]
Die Einheit von ∆ ist: [∆] = [1/Länge²], [r] = [Länge]. Nutzen Sie aus, dass die beiden Summanden die gleichen Einheiten aufweisen, um die atomare Längeneinheit herzuleiten.


Wenn man die der vorstehend zitierten Gleichung entsprechende "Dimensionengleichung" bildet , die beiden Terme auf der rechten Seite gleichsetzt, und jede Dimension durch ihre "atomare Einheit" ersetzt, insbesondere also für die "atomare Längeneinheit den Bohr'schen Radius einsetzt , so erhält man : \[ \frac {\hbar^2}{2 \ m_e \ a_0^2} \ = \ \frac { e_0^2}{4 \ \pi \ \epsilon_0 \ a_0 }\] Was nach Kürzen und Umstellen ergibt : \[ a_0 \ = \ \frac { \ 4 \ \pi \ \epsilon_0 \ \hbar^2 }{ 2 \ m_e \ e_0^2} \]

Mittllerweile halte ich für möglich, dass mein vorstehend Geschriebenes die angedachte Lösung sein könnte. Da ist zwar noch ein "dummer" Faktor "2 " im Nenner, der da nicht hingehört, aber bei der Schlichtheit der von mir unterstellten Lösungs- Denke wird man den wohl ignorieren dürfen.

Gruß FKS

Ähnliche Themen

Social Bookmarks

Buchvorstellung: