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Üblicherweise werden quantenchemische Rechnungen in atomaren Einheiten durchgeführt. Die atomaren Einheiten für die Masse, die elektrische Ladung und den Drehimpuls werden dabei auf die Masse des Elektrons, die Ladung des Protons, und das Drehimpulsquantum "h quer" bezogen. Die Permittivität (dielektrische Leitfähigkeit) wird bei der Verwendung atomarer Einheiten zudem in Vielfachen von 4π0 angegeben. Man gelangt zu Formeln in rationalisierten Einheiten, wenn man in dem zugehörigen SI Aquivalent alle Massen, Ladungen, Drehimpulse durch die oben genannten atomaren Größen dividiert. Zeigen Sie, dass die atomare Längeneinheit dem Bohrschen Radius a0 entspricht. Berechnen Sie zudem, welchen Wert die atomare Einheit der Energie (1 hartree) in den Einheiten J und kJ/mol einnimmt.

Tipp:

\[ \hat H = - \frac{\hbar^2 }{2 \ m_e} \Delta + \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \cdot r} \]

Die Einheit von ∆ ist: [∆] = [1/Länge²], [r] = [Länge]. Nutzen Sie aus, dass die beiden Summanden die gleichen Einheiten aufweisen, um die atomare Längeneinheit herzuleiten. Im zweiten Schritt können Sie dann ausnutzen, dass die Dimension von "H" einer Energie entspricht.

Wenn ich die Einheiten einsetze:

\[ \hat H = J^2 \cdot \frac{s^2}{kg} \cdot \frac{1}{Laenge^2} + \frac{1}{\frac{As}{V \cdot Laenge} \cdot Laenge} \]


\[ \hat H = \frac{kg^2 \cdot Laenge^4}{s^4} \cdot \frac{s^2}{kg} \cdot \frac{1}{Laenge^2} + \frac{1}{\frac{As}{V }} \]

\[ \hat H = \frac{kg \cdot Laenge^2}{s^2} + \frac{V}{A} \]

\[ \hat H = J + \frac{V}{A} \]

Da sich das nicht weiter zusammenfassen lässt muss ich wohl irgendwo einen Fehler gemacht haben. Komme aber nicht drauf.

Ach, wie blöd von mir! Dann komme ich auf die Einheit einer Energie, wie nutze ich diese Tatsache jetzt allerdings aus um den Bohrschen Radius a₀ zu ermitteln?