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  • »Qniemiec« ist der Autor dieses Themas

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1

Samstag, 20. August 2016, 11:06

Verifizierung zweier Grenzwerte

Hallo, bei der Untersuchung des Verhaltens unterjähriger Ratenzahlungen bin ich auf die folgenden beiden Grenzwerte gestoßen, bei deren Bestimmung ich mir im ersten Fall einigermaßen sicher bin, das korrekte Ergebnis erhalten zu haben:
\[ \lim_{m \to \infty} \frac Z m \cdot \frac {(1 + \frac p m)^m - 1} {(1 + \frac p m) - 1} = Z \cdot \frac{\mathrm{e}^p - 1} p \]
Im zweiten dagegen kam ich erstmal nicht weiter, bis ich's mal mit der Regel von de l'Hospital versucht habe, mir aber nicht 100%ig sicher bin, ob das Ergebnis stimmt:
\[ \lim_{m \to \infty} \frac Z m \cdot \frac {(1 + p) - 1} {\sqrt[m]{(1 + p)} - 1} = \lim_{m \to \infty}Z \cdot p \cdot \frac {\frac 1 m} {\sqrt[m]{(1 + p)} - 1} \ \stackrel{\mathrm{?}}= \ Z \cdot p \]
Wenn einer der hier Mitlesenden mal draufschauen könnte... 8)

Man liest sich,
QN

2

Samstag, 20. August 2016, 15:43


\[ \lim_{m \to \infty} \frac Z m \cdot \frac {(1 + \frac p m)^m - 1} {(1 + \frac p m) - 1} \]
..... was nach meiner Rechnung stimmt.


\[ \lim_{m \to \infty} \frac {Z} {m} \ \cdot \ \frac {(1 + p) - 1} {\sqrt[m]{(1 + p)} - 1} \]
\[ \lim_{m \to \infty} \frac {Z}{m} \ \cdot \ \frac { p } { 1 \ + \ ( \ p/m \ ) \ - \ 1} \] \[ \lim_{m \to \infty} \frac {Z}{m} \ \cdot \ \frac { p } { ( \ p/m \ ) } \] \[ \lim_{m \to \infty} \frac Z m \cdot \frac {1 } {( \ 1/m \ )} \ = \ Z \]

Gruß FKS

  • »Qniemiec« ist der Autor dieses Themas

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3

Samstag, 20. August 2016, 20:38

Hallo FKS, auf die Frage nach dem Grenzwert

Zitat

\[ \lim_{m \to \infty} \frac Z m \cdot \frac {(1 + p) - 1} {\sqrt[m]{(1 + p)} - 1} \]
lösten Sie ihn wie folgt auf
\[ \lim_{m \to \infty} \frac {Z}{m} \ \cdot \ \frac { p } { 1 \ + \ ( \ p/m \ ) \ - \ 1} \] \[ \lim_{m \to \infty} \frac {Z}{m} \ \cdot \ \frac { p } { ( \ p/m \ ) } \]
Was ich leider nicht ganz verstehe, also wie aus der m-ten Wurzel im Nenner auf den Ausdruck "1+(p/m)" kommen. Denn der "Witz" an den beiden Nennern ist ja, dass, wenn m gegen Unendlich geht, der erste Nenner das ebenfalls tut, der zweite dagegen, also die unendlich oft gezogene Wurzel aus (1+p) minus 1, gegen Null, wir also am Ende Unendlich mal Null rechnen müssten, weshalb ich dann auf den l'Hospital zurückgegriffen hab. Wobei ich mich mit dem wohl auch vertan habe, weil die Ableitung von \[ \sqrt[m]{(1 + p)} - 1 \]nach m ja\[ \sqrt[m]{(1 + p)} \cdot \ln (1+p) \cdot -\frac 1 {m^2} \]lauten müsste, und der Grenzwert beider Ableitungen damit \[ \lim_{m \to \infty} Z \cdot p \ \cdot \ \frac { -\frac 1 {m^2} } {\sqrt[m]{(1 + p)} \cdot \ln (1+p) \cdot -\frac 1 {m^2} } \stackrel{\mathrm{?}}= Z \cdot p \cdot \frac 1 { 1 \cdot \ln (1+p)} \]
Aber ob das nun endlich stimmt, wage ich auch wieder nicht mit Sicherheit zu sagen...
Man liest sich 8) ,
QN

  • »Qniemiec« ist der Autor dieses Themas

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4

Sonntag, 21. August 2016, 15:25

Hurra, es stimmt! :thumbsup: Denn damit, was ich gerade in der Wikipedia gefunden hab
\[\ln x = \lim_{n \to \infty} n \cdot \left(\sqrt[n]x -1 \right) \]geht die Sache genau auf - für den Nenner \[m \cdot \left(\sqrt[m]{1+p} -1 \right) \]muss dessen Grenzwert für m gegen Unendlich folglich ln(1+p) lauten:\[\ln (1+p) = \lim_{m \to \infty} m \cdot \left(\sqrt[m]{1+p} -1 \right) \]Des Rätsels Lösung als ganzen lautet folglich: \[ \lim_{m \to \infty} \frac Z m \cdot \left(\frac {(1+p)-1} {\sqrt[m]{1+p} -1} \right) = Z \cdot \frac p {\ln(1+p)} \]Wobei das ganze den Jahresendwert einer Serie geometrisch verzinster nachschüssiger unterjähriger Renten mit Z als deren Summe sowie p als nominellem Jahreszinssatz darstellt, sobald m, die Zahl der Rentenperioden pro Jahr, dabei ins Unendliche wächst. Also eine typische Aufgabe für lange Sommerabende, wenn "nix G'scheits" im Fernsehen kommt... :sleeping:

Danke trotzdem, FKS, fürs Vorbeischauen... :thumbup:

Man liest sich,
QN

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