Schwerpunkt und Trägheitsmoment

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Harve

Beiträge: 213

Registrierungsdatum: 3. November 2015

Dienstag, 26. Januar 2016, 23:18

Schwerpunkt und Trägheitsmoment

Punktmassensystem mit m1=10kg, m2= 5kg, m3= 1kg, m4=5kg

Koordinaten : P1= (0,0,0) , P2= (1,-2,1) , P3= (0, -2, 0) , P4= (0,0,3)

Alle Korrdinaten der Punkte sind in cm .

Man kann jetzt jeden Schwerpunkt im Bezug einer Achse ausrechnen. Für y-Achse komme ich auf -4/7 cm vom Nullpunkt.

Jetzt soll ich das Trägheitsmoment des Körpers im Bezug der y-Achse ausrechnen.

In meiner Formelsammlung sehe ich eine seltsame Formel:

J_z= Summe aus (index j) : m_j * ( (r_x)^2 + (r_y)^2)

Ich bin mir nicht sicher, ob ich das verstanden habe.

Sind r_x und r_y der Abstand vom Nullpunkt oder vom Schwerpunkt der bezüglichen Koordinate ?

Und ich muss also mit r_x und r_z rechnen oder ?

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Friedrich Karl Schmidt

Beiträge: 1 468

Registrierungsdatum: 8. März 2013

Freitag, 29. Januar 2016, 15:39

Schwerpunkt

Zitat von »Harve«

Punktmassensystem mit m1=10kg, m2= 5kg, m3= 1kg, m4=5kg

Koordinaten : P1= (0,0,0) , P2= (1,-2,1) , P3= (0, -2, 0) , P4= (0,0,3)

Alle Koordinaten der Punkte sind in cm .

Für den Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) bezüglich der x - Koordinate gilt
\[x_S \ = \ \frac {\sum (m_i \
x_i)}{\sum \ m_i} \ = \ \frac {\sum ( \ m_i \ x_i \ )}{m}\] Die anderen Koordinaten dem entsprechend.
Als Ergebisse erhalte ich : \[x_S \ = \ \frac {10}{21} \ cm\]\[y_S \ = \ - \frac {12}{21} \ cm\]\[z_S \ = \ \frac {20}{21} \ cm\]Bitte nachrechnen.
Gruß FKS

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Friedrich Karl Schmidt

Beiträge: 1 468

Registrierungsdatum: 8. März 2013

Freitag, 29. Januar 2016, 16:13

Trägheitsmoment

Zitat von »Harve«

Jetzt soll ich das Trägheitsmoment des Körpers im Bezug der y-Achse ausrechnen.

Definition des Trägheitsmoments : \[dI \ = \ r^2 \ dm \] Für den Fall einer Punktmasse, also gleicher Abstand r vom Drehpunkt bzw. der Drehachse für alle differentiellen Teilmassen dm , ergibt sich nach Integrieren \[I \ = \ r^2 \ m \] Bei mehreren Punktmassen also : \[I \ = \ \sum I_i \ = \ \sum ( \ m_i \ r_i^2 \ ) \]
Da hier die y - Achse als Drehachse vorgegeben ist, sind die Abstände der verschiedenen Punktmassen von eben dieser Drehachse einzusetzen. Wobei sich die Abstände aus den jeweiligen x - und z - Koordinaten ergeben : \[r_i^2 \ = \ x_i^2 \ + \ z_i^2 \]\[I \ = \ \sum \ m_i \ ( \ x_i^2 \ + \ z_i ^2 \ ) \]

Gruß FKS

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Harve

Beiträge: 213

Registrierungsdatum: 3. November 2015

Freitag, 29. Januar 2016, 17:24

Zitat von »Friedrich Karl Schmidt«

Da hier die y - Achse als Drehachse vorgegeben ist, sind die Abstände der verschiedenen Punktmassen von eben dieser Drehachse einzusetzen. Wobei sich die Abstände aus den jeweiligen x - und z - Koordinaten ergeben : \[r_i^2 \ = \ x_i^2 \ + \ z_i^2 \]\[I \ = \ \sum \ m_i \ ( \ x_i^2 \ + \ z_i ^2 \ ) \]

Gruß FKS

Ich dachte eig. ich müsste jetzt die Abstände der x- bzw. y-Koordinate zum jeweiligen Schwerpunkt x_S bzw y_s dafür nehmen.
In der Musterlösung aber bezieht man sich auf den Nullpunkt.

x_s= 5/21cm ; z_s= 10/21cm

10kg: r_x_1 = 5/21cm r_z_1= 10/21cm
5kg: r_x_2 =1cm- 5/21cm r_z_2=1cm- 10/21cm
1kg: r_x_3 = 5/21cm r_z_3= 10/21cm
5kg: r_x_4 = 5/21cm r_z_4= 3cm-10/21cm

J_y= 39.52 kg cm^2

Und warum ist das falsch?