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Zitat von »Koni«

Hat sich erledigt habs rausbekommen.

Zitat von »koni«

Die Frage ist durchaus echt!

Zitat

Es stammt aber auch nicht aus einem Lehrtext, sondern einer alten Dissertation. Davon unabhängig ist es mir schon oft aufgefallen, dass sehr viele Autoren seitenweise Umformungen mit den Floskeln "wie man leicht sieht" oder "es folgt trivialerweise" kaschieren... Naja hat sich ja nun erledigt :)

Zitat von »koni«

Hallo!

In einer alten Schrift habe ich folgende "Umformung" gefunden und kann sie leider nicht nachvollziehen. Daher wäre ich für eure Hilfe sehr dankbar:

\[ \Delta G^M = x_a \Delta \bar{G}_a + x_b \Delta \bar{G}_b \]



daher:

\[ \Delta \bar{G}_a = \Delta G^M + (1-x_a) \frac{d \Delta G^M}{dx_a} \]

Delta G^M ist die freie Mischungs-Enthalpie und Delta G quer a ist die Differenz zwischen der partiellen molaren freie Enthalpie in der Lösung und der im reinen Zustand.

Vielen Dank!
koni

Zitat von »koni«

Die Frage ist durchaus echt!

Es stammt aber auch nicht aus einem Lehrtext, sondern einer alten Dissertation. Davon unabhängig ist es mir schon oft aufgefallen, dass sehr viele Autoren seitenweise Umformungen mit den Floskeln "wie man leicht sieht" oder "es folgt trivialerweise" kaschieren... Naja hat sich ja nun erledigt :)

Zitat von »Friedrich Karl Schmidt«

MMn hat sich die von Ihnen gestellte Aufgabe noch nicht erledigt.

Zitat von »koni«

Solange ich Aktivitäten verwende können mir Exzessgrößen doch "egal" sein.

Zitat

Zitat von »koni«

Zitat von »Friedrich Karl Schmidt«

MMn hat sich die von Ihnen gestellte Aufgabe noch nicht erledigt. Auch wenn Ihnen das so scheinen mag.

Auch nein, wieso denn nicht?

Leider ist dies nicht so leicht vermittelbar. Jedenfalls nicht an "Widerredende". Weil hier nämlich mMn eine Darstellung vorliegt, die nach meiner Überzeugung mangelhaft ist, ohne falsch zu sein.
Gestatten Sie, dass ich dies einmal an einem Beispiel einfacherer Konnotation zeige. Wobei ich mir u.a. erlaube, das chemische Potenzial zu verwenden. Und dies wohl wissend, dass dieses nicht allgemein identisch ist mit der "partiellen, freien molaren Enthalpie". Was bekanntlich nur für isobar - isotherme Zustandsänderungen gilt. Andererseits aber der Mangel nicht allgemeiner Anwendbarkeit die freie molare Enthalpie trifft, während das chemische Potenzial z.B auch für isentrop - isochore, isentrop - isobare, isotherm - isochore Zustandsänderungen das zu leisten in der Lage ist, was die freie Enthalpie ausschließlich für isotherm - isobare Zustandsänderungen leistet.
Betrachten wir gleichwohl die GIBBS'sche Fundamentalform der inneren Energie U den Variablen den Variablen S,V, sowie den Stoffmengen n1.n2 :
\[dU \ = \ T \ dS \ - \ p \ dV \ + \ \mu_1 \ dn_1 \ + \ \mu_2 \ dn_2 \] Was mit der Definition \[ G \ : = \ U \ + \ pV \ - TS \] zu der folgenden, so genannten "LEGENDRE -transformierten" Form führt : \[dG \ = \ - \ S \ dT \ + \ V \ dp \ + \ \mu_1 \ dn_1 \ + \ \mu_2 \ dn_2 \] Was seinerseits dann für isotherm - isobare Zustandsänderungen zu der Form führt , mit der ich meine Vorrede beenden kann : \[dG_{T,p} \ = \ \ \mu_1 \ dn_1 \ + \ \mu_2 \ dn_2 \] und daraus folgend \[ \mu_i \ : = \ \frac {dG(T , p , n_{i}, n_{k})} {dn_i} \]
Wobei festzuhalten ist, dass vorerst nur die obige Differentialform als gültig nachgewiesen ist und die Gültigkeit insbesondere der folgenden "integralform" noch zu zeigen wäre : \[G \ = \ \ \mu_1 \ n_1 \ + \ \mu_2 \ n_2 \] bzw. \[\frac {G}{n_1 \ + \ n_2} \ := \ G_m \ = \ \ \mu_1 \ x_1 \ + \ \mu_2 \ x_2 \] Schießlich sind die beiden chemischen Potenziale von der hier durch x1 beschriebenen Zusammensetzung abhängig , so dass sie beim Integrieren nicht wie Konstanfe vor das Integral gezogen werden können.

Und leitet man die Vorstehende Funktionsgleichung nach x1 ab, so erhält man
\[ \frac {dG_m}{dx_1} \ = \ \mu_1 \ + \ x_1 \frac {d\mu_1}{dx_1} \ - \ \mu_2 \ + \ ( \ 1 \ - \ x_1 \ ) \ \frac {d \mu_2}{dx_1} \] und ich jetzt nicht einfach als trivial unterstellen würde, dass \[ x_1 \ \frac {d \mu_1}{dx_1} \ + \ ( \ 1 \ - \ x_1 \ ) \ \frac {d \mu_2}{dx_1} = 0 \] gilt , was aber mMn die Voraussetzung wäre für die Form \[ \frac {dG_m}{dx_1} \ = \ \mu_1 \ - \ \mu_2 \], die analog wäre der Form, die in Peter57 's Ableitung erhalten wird und die wie im folgenden Zitat zu lesen ....

Zitat

Zitat von »Friedrich Karl Schmidt«

Dankenswerter Weise hat in der Zwischenzeit Peter57 eine Herleitung angeboten. Bevor ich dazu einige mir sinnvoll erscheinende Anmerkungen mache , möchte ich Sie fragen, ob die Ableitung von Peter 57 übereinstimmt mit der Ableitung, die Sie selbst gefunden haben.

So ziemlich... ja.

.... " so ziemlich " übereinstimmt mit der von Ihnen gefundenen Herleitung.

Gruß FKS

Zitat

Zitat von »Peter_57'«

Wobei die von "koni" gewählte symbolische Kennzeichnung zusätzlich zu dem generellen Fehler dermaßen hinkt - es ist nicht mehr schön.

Das ist nicht "meine" Kennzeichnung, auch wenn das hier niemand zu glauben scheint. Und weshalb ist ist das denn ein "genereller Fehler". Das mit Exzessgrößen auszudrücken erscheint mir ebenso falsch -> bitte erklären! Solange ich Aktivitäten verwende können mir Exzessgrößen doch "egal" sein.

Zitat von »koni«

Ganz tolle Antwort! Ich habe nie behauptet, dass ich es weiß (das wird mir nur unterstellt). Im Gegeteil, ich versuch es zu verstehen. Deine Arroganz kannst du dir sparen

Zitat von »Friedrich Karl Schmidt«

Nichts für ungut

Zitat von »peter_57«

Sie hatten ja in Beitrag 12 den Ausdruck
\[\frac{\mathrm{d} G_m}{\mathrm{d} x_1}= \mu _1-\mu _2\]

abgeleitet, den es so nur geben kann weil die Gibbs-Duhem- Beziehung gilt.

Zitat

Und sofern es sich bei den µ‘s um Exzessgrößen handelt

\[\mu _{1}^{E}=\mu _{1}^{real}-\mu _{1}^{ideal};\mu
_{2}^{E}=\mu _{2}^{real}-\mu _{2}^{ideal}\]

kommt man auf die besagte Beziehung nur dann, wenn man G ebenfalls als Exzessgröße ansieht.

\[G_{m}^{E}=G_{m}^{real}-G_{m}^{ideal}\]

Somit

\[\frac{\mathrm{d} \left ( G_{m}^{real}-G_{m}^{ideal} \right
)}{\mathrm{d} \chi_1}=\left ( \mu_{1}^{real}- \mu_{1}^{ideal}\right )-\left (
\mu_{2}^{real}- \mu_{2}^{ideal}\right )\]

Es ist ein genereller Fehler(und bei dieser Behauptung bleibe ich) mit -Zitat koni wiederzugeben „Delta G^M ist die freie Mischungs-Enthalpie und Delta G quer a ist die Differenz zwischen der partiellen molaren freie Enthalpie in der Lösung und der im reinen Zustand“ Zitat Ende-. Entweder verwendet man eine Gleichung bei der auf beiden Seiten Mischungsenthalpien stehen oder auf beiden Seiten Differenzen derselben. Entweder das Eine oder das Andere. Wenn das so -wie oben wiedergegeben- in der Dissertation steht ist das schlicht falsch.

Zitat

\[ \Delta G^M = x_a \Delta \bar{G}_a + x_b \Delta \bar{G}_b \]
Delta G^M ist die freie Mischungs-Enthalpie und Delta G quer a ist die Differenz zwischen der partiellen molaren freie Enthalpie in der Lösung und der im reinen Zustand.