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Das geht auf ein ganz konkretes, praktisches Problem zurück: wie bringt man viele, gleich große Kanonenkugeln möglichst platzsparend in einem Schiffsrumpf unter?

Wenn die Vorstellungskraft nicht ausreicht, kann man eine Pappschachtel und viele, gleich große Kugeln nehmen, am besten in zwei, oder noch besser drei unterschiedlichen Farben. Dann versucht man, die Kugeln möglichst platzsparend im Karton unterzubringen und wird feststellen, dass man, wie auch immer man es versucht, eine Raumausfüllung von etwa 74% nicht überschreiten kann.

Zitat von »Torsionswinkel«

Ich habe ein grundsätzliches Problem damit das Prinzip der dichtesten Kugelpackungen zu verstehen, es wurde in der Vorlesung nur kurz erwähnt. Habe schon versucht es aus diversen Quellen zu lernen, aber irgendwie will mir der Sinn dahinter nicht einleuchten. Mein räumliches Vorstellungsvermögen gibt hier ebenfalls den Geist auf, wie lerne ich das am besten?

Ich taste mich bei solchen Dingen immer langsam vor.
Bei einer Dimension gibt es für einen Kreis 2 Berührungspunkte.
Kommt nun eine Dimension hinzu hilft probieren. 4 Berührungspunkte um je 90° verschoben sind schon einmal klar, aber reicht der Zwischenraum für weitere 4 Berührungspunkte bei gleichen Radien? Nein, der Öffnungswinkel des Kreisbogens ist zu klein um den Durchmesser eines weiteren Kreises in den Zwischenraum einzupassen. Also nicht 8 sondern nur 6 Berührungspunkte. Nun kann man in der nächsten Dimension das Spiel nun mit Kugeln wiederholen und kommt auf 12 Berührungspunkte.
Interessant wäre nun die 4. Dimension - demnach hätte eine Kugelpackung der 4. Dimension dann wohl 36 oder 24 Berührungspunkte, oder auch nicht. Meine räumliche Vorstellung streikt dabei längst...

Zitat von »hw101«

Meine räumliche Vorstellung streikt dabei längst...

Was vermutlich daran liegt, dass es nicht alltäglich ist, sich das vierdimensionale Analogon der Kugel vorzustellen. Denn wie Sie schon richtig gesagt haben, reduziert sich das dreidimensionale Problem der dichtesten Kugelpackungen im zweidimensionalen Raum auf das Problem der "dichtesten Kreispackung".

Vielleicht ein guter Anfangspunkt, sich das Problem erst einmal so zu vergegenwärtigen, dass man Kreise gleichen Radius' dicht auf einer Fläche packt...

Zitat von »HerrBiernot«

Zitat von »hw101«

Meine räumliche Vorstellung streikt dabei längst...

Was vermutlich daran liegt, dass es nicht alltäglich ist, sich das vierdimensionale Analogon der Kugel vorzustellen.

In der Tat! Wie sieht eine Kugel im vierdimensionalen Raum tatsächlich aus?
In meinen Jugendjahren hatte ich Freude am Bau von Teslaspulen und bei der Berechnung der sek. Kapazität am Torus mich öfter gefragt, wie wohl ein Zylinder, dessen kreisförmig gekrümmte Höhe mit negativem Vorzeichen und in gegensätzliche axiale Richtung, mit abnehmenden Querschnitt aussehen würde. Nach meiner Vorstellung eine Kugel von definiertem Durchmesser des Tori, mit trichterförmigen Einstülpungen an den "Polen" Richtung Kugelmittelpunkt. Ob diese Vorstellung dem Begriff einer weiteren Dimension entspricht habe ich aber nie erkundet.

Zitat von »hw101«

Wie sieht eine Kugel im vierdimensionalen Raum tatsächlich aus?

Das kann ich leider nicht erklären, da ich davon auch keine anschauliche Vorstellung habe. Jedenfalls ist in der Mathematik sehr wohl auch im vierdimensionalen Raum eine Kugel definiert - die Hyperkugel nämlich. Und in einer dichtesten Packung von Hyperkugeln wäre die "Kusszahl" dann 24 (nicht 36), d.h. 24 Hyperkugeln um eine zentrale Hyperkugel herum angeordnet.

Zitat von »HerrBiernot«

Dann versucht man, die Kugeln möglichst platzsparend im Karton unterzubringen und wird feststellen, dass man, wie auch immer man es versucht, eine Raumausfüllung von etwa 74% nicht überschreiten kann.

Was man in DIN - korrekter Sprache "den Volumenanteil des erfüllten Raumes V(eR)" bezeichnen könnte und den man wie folgt berechnen kann : Die kubisch dichteste Kugelpackung stellt ein kubisch flächenzentriertes Gitter dar , also mit einer Elementarzelle der folgenden Art : Ein Würfel mit je einer Kugel auf den 8 Würfelecken und je einer Kugel in der Mitte der 6 Würfelflächen. Da der betrachtete Würfel die Kugeln auf den 8 Ecken mit acht anderen Würfeln teilt, entfällt auf eine Elementarzelle rechnerisch eine "Eckenkugel". Jede Kugel auf einer Flächenmitte ist jeweils zur Hälfte der betrachteten Elementarzelle zuzurechnen. Bei 6 Flächen also rechnerisch drei Flächenkugeln , insgesamt also vier Kugeln pro Elementarzelle. Das Gesamtvolumen dieser vier Kugeln also : \[ V_K \ = \ 4 \ \cdot \ \frac {4}{3} \ \pi \ r_K^3 \] Da sich eine Eckenkugel mit den unmittelbar benachbarten Flächenkugeln berührt , muss die Fächendiagonale die vierfache Länge des Radius r einer Kugel K haben . Somit gilt für die Länge a einer Würfelkante und daraus folgend für das Volumen der Elementarzelle Z , sowie für den Volumenanteil des erfüllten Raumes φ:
\[ \sqrt {2} \ a_Z \ = \ 4 \ r_K \ \ => \ \ V_Z \ = \ \frac {64 }{2 \ \sqrt 2} \ r_K^3 \]\[ \varphi _{eR} \ = \ \frac {V_K}{V_Z} \ = \ \frac {\pi}{3 \ \sqrt 2} \]\[ \varphi_{eR} \ = \ 0,74 \ = \ 74 \ Prozent \] Natürlich muss sich im Fall der hexagonal dichtesten Kugelpackung der gleiche Wert für die Raumerfüllung ergeben , denn die beiden Kugelpackungen unterscheiden sich nur in der Schichtfolge: ABAB... bei der hexagonal dichtesten Packung und ABCABC... bei der kubisch dichtesten Packung. Weil ich nicht im Kopf behalten kann , welche Schichtfolge zu welcher Packung gehört, habe ich es unter Belastung meines Vorstellungsvermögens bis an seine Grenzen gerade noch geschafft, mir zu überlegen, warum ein kubisch flächenzentriertes Gitter nicht der Schichtfolge ABAB... entsprechen kann .
Gruß FKS

Zitat von »Friedrich Karl Schmidt«

Weil ich nicht im Kopf behalten kann , welche Schichtfolge zu welcher Packung gehört, habe ich es unter Belastung meines Vorstellungsvermögens bis an seine Grenzen gerade noch geschafft

Falls das Vorstellungsvermögen in Klausuren und mündlichen Prüfungen (erfahrungsgemäß, bei mir zumindest) mal streikt, folgende Merkhilfe aus meiner Studienzeit: die cubisch dichteste Packung hat das C in der Schichtfolge.

Zitat von »HerrBiernot«

Falls das Vorstellungsvermögen in Klausuren und mündlichen Prüfungen (erfahrungsgemäß, bei mir zumindest) mal streikt, folgende Merkhilfe aus meiner Studienzeit: die cubisch dichteste Packung hat das C in der Schichtfolge.

In diesem Sinne zur Konservierung meiner Überlegung : Bei einem kubisch flächenzentrierten Gitter sitzt die Kugel einer Würfelecke in einer der beiden Vertiefungen der 3 Kugeln auf den Mitten der drei benachbarten Würfelflächen. Was bei einer ABA - Schichtenfolge zur Folge haben müsste, dass die der betrachteten Würfelecke gegenüberliegende , am anderen Ende der Raumdiagonalen befindliche Eckenkugel auch in eine Vertiefung der gleichen drei Flächenkugeln sitzen müsste. Tatsächlich aber sitzt die letztere Kugel in einer Vertiefung der anderen 3 Flächenkugeln.
Auch die Länge der Raumdiagonale würde nicht zu einer ABA - Schichtenfolge passen. Denn der Abstand zwischen zwei übereinander liegenden Kugeln einer ABA - Schichtfolge ist evident kleiner als der Abstand von zwei über eine Raumdiagonale verbundenen Eckenkugeln in einem kubisch flächenzentrierten Gitters.
Gruß FKS