treffpunkt-naturwissenschaft.com

Eine kugelsymmetrisch verteilte Raumladung Q habe den Radius r . Eine Punktladung q befinde sich sich in einem Abstand a vom Mittelpunkt der Raumladung. Dann gelten folgende Regeln für das Berechnen der Kraft zwischen Punktladung und Raumladung :
1. a > r : Man darf so rechnen , als sei die gesamte Raumladung im Kugelmittelpunkt vereinigt.
2. a < r : Der Teil der Raumladung , der sich näher am Kugelmittelpunkt befindet als die Punktladung, darf als im Kugelmittelpunkt vereinigt angenommen werden. Der Rest kann ignoriert werden, da das Innere einer geladenen Hohlkugel bekanntlich feldfrei ist.

Auf der Suche nach einem Beweis für die Richtigkeit dieser Regeln findet man in der Lehrbuchliteratur umfangreiche Rechnungen, für die regelmäßig eine Druckseite bei weitem nicht ausreicht. Dabei geht es wesentlich einfacher.

Wir denken uns eine Punktladung q im Mittelpunkt einer Hohlkugel mit einer verschwindend dünnen Kugelschale im Abstand r vom Mittelpunkt. Auf der Kugelschale sei eine Ladung Q gleichmäßig verteilt.
Nun soll die Punktladung in einen Abstand R > r vom Kugelmittelpunkt verbracht werden. Wir betrachten die beiden folgenden Realisierungsmöglichkeiten :
a): Die Punktladung q wird zuerst bis zur Kugelschale gebracht. Da das Innere der Hohlkugel feldfrei ist, ist diese Verschiebung nicht mit einer Energieänderung verbunden. Beim weiteren Verschieben der Punktladung bis zum gewünschten Absand R , ändert sich die Energie einen Betrag, der hier gesucht sei.
b) Die Hohlkugel werde expandiert von Radius r bis zum Radius R. Dabei ändert sich die Energie so, dass man sie in zwei Summanden zerlegen kann. Der eine Teil berücksichtigt das Entfernen der Kugelschalenladung Q von der Punktladung q . Die Rechnung ist leicht, weil alle als gleich groß angenommenen Teilladungen auf der Kugeloberfläche die gleiche Energieänderung erfahren, so dass wir unschwer erkennen, dass das Ergebnis von dieser Form sein muss : \[ \Delta E \ = \ k \ \cdot \ q \ Q \ [ \ \frac {1}{R} \ - \ \frac {1}{r} \ ] \] Zusätzlich tritt noch eine Energieänderung auf für das Expandieren der Hohlkugel. Aber um diese Energieänderung müssen wir uns hier nicht kümmern, denn diese wird exakt kompensiert dadurch, dass wir unter Zurücklassen von q bei R die leere Hohlkugel wieder kontrahieren lassen von R auf r. Die Energieänderung für das Verschieben von q von r auf R wird also allein durch die vorstehende Gleichung beschrieben. Sehen wir uns die Gleichung an , so entspricht die Energieänderung exakt dem Fall, dass zwei Punktladungen Q und q von einem Abstand r auf einen Abstand R > r gebracht werden.
Nachdem wir nun überzeugt sein können, dass man sich die Ladung Q einer Hohlkugel als im Mittelpunkt der Kugel vereinigt denken darf, wenn man die Kraft für das Verschieben einer außerhalb der Hohlkugel befindlichen Punktladung berechnen will, so kommen wir zum analogen Ergebnis für eine kugelsymmetrische Raumladung , wenn wir uns diese als eine Folge von ineinander geschachtelten Hohlkugeln vorstellen.
Nun noch zu dem Fall, dass sich die Punktladung q innerhalb der kugelsymmetrischen Raumladung befindet : Wir denken uns die Kugel geteilt in eine innere Kugel, auf deren Oberfläche die Punktladung q sitzt. Der Rest ist eine Hohlkugel, die die innere Kugel umschließt. Da das Innere einer geladenen Hohlkugel stets feldfrei ist, trägt die einhüllende Hohlkugel auch nicht zur Kraft auf die Punktladung bei.


In Bezug auf den möglichen Einwand, die Ableitun basiere auf der nicht bewiesenen Annahme, dass im Inneren einer geladenen Hohlkugel für die elektrische Feldstärke E = 0 gilt, sei angemerkt, dass sich dieser Sachverhalt aus dem COULOMB'schen Gesetz ergibt , bzw. in Umkehrung der Gedankenführung das COULOMB'sche Gesetz allein aus dem experimentellen Befund E = 0 abgeleitet werden kann.

Gruß FKS

Zitat von »Friedrich Karl Schmidt«

In Bezug auf den möglichen Einwand, die Ableitung basiere auf der nicht bewiesenen Annahme, dass im Inneren einer geladenen Hohlkugel für die elektrische Feldstärke E = 0 gilt, sei angemerkt, dass sich dieser Sachverhalt aus dem COULOMB'schen Gesetz ergibt , bzw. in Umkehrung der Gedankenführung das COULOMB'sche Gesetz allein aus dem experimentellen Befund E = 0 abgeleitet werden kann.

Hier die bereits angesprochenen Ableitungen zum COULOMB'schen Gesetz in Form von Bilddateien. Für die Mängel in Bezug auf die mangelhafte Qualität der Grafik bitte ich um Nachsicht :

Den in der vorstehenden Bilddatei verwendete Ansatz zur Ableitung des COULOMB - Gesetzes findet man u,a. bei MAX BORN : "Die Relativitätstheorie Einsteins", Heidelberger Taschenbücher, Springer Verlag 1964, S. 130 ff. Dort schreibt MAX BORN das Urheberrecht für diesen Ansatz PRIESTLEY (1767) und CAVENDISH (1771) zu.




Hierzu noch der ergänzende Hinweis, in den beiden letzten Formeln die Klammerausdrücke gleich 1 werden, wenn der Radius r der planparallen Plattenflächen über alle Grenzen wächst , somit also beide Formeln für unendlich ausgedehnte Plattenflächen das COULOMB'sche Gesetz ergeben.
Literaturhinweis : U. FINKE und F. K. SCHMIDT : COULOMB - Kraft und Magnetismus, Praxis der Naturwissenschaften - Physik in der Schule, 1/54. jahrgang 2005, Aulis Verlag, S. 42 - 46



Literaturhinweis : U. FINKE und F. K. SCHMIDT : COULOMB - Kraft und Magnetismus, Praxis der Naturwissenschaften - Physik in der Schule, 1/54. jahrgang 2005, Aulis Verlag, S. 42 - 46

Gruß FKS