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Darf ich vorher einmal an einem einfachen Beispiel zu erklären versuchen, warum es eigentlich geht. Nehmen wir mal eine einfache Stammfunktion der Form : \[ z(x,y) \ = \ x \ y \ + \ C \] also \[d z(x,y) \ = \ ( \ \frac {dz(x,y)}{dx} \ )_y \ dx \ \ + \ ( \ \frac {dz(x,y)}{dy} \ )_x \ dy \] in Kurzfassung also \[d z(x,y) \ = \ z_x \ dx \ + \ z _y\ dy \] speziell für \[ z(x,y) \ = \ x \ y \ + \ C \]\[d z(x,y) \ = \ d(x \ y \ + \ C) \ = \ y \ dx \ + \ x \ dy \] Was zwar die Form eines Differentials hat, dies aber durchaus keines sein muss. Denn ein Differential ist es nur dann , wenn dadurch auch eine Funktion definiert ist, was man im Prinzip in der Weise prüfen könnte, dass man die beiden Summanden wieder dem entsprechend "partiell" integriert und prüft , ob jede der beiden "partiellen" Integrationen zu einer Stammfunktion gleicher Form zurückführt.Für welche Werte von α sind die folgenden Ausdrücke totale Differentiale?
a) \[ y^2 e^{xy^2} \cdot dx + \alpha xy e^{xy^2} dy \]
b) \[ (cos y^2 - 2y^2 \sin x) dx + (-2xy^{\alpha} \sin y^2 + 4y \cos x) dy \]
Ich weiß zwar, dass totale Differentiale wegunabhängig sind und ich durch den Satz von Schwarz zeigen kann, dass es sich um totale Differentiale handelt, aber woher soll ich wissen für welche Werte von alpha das gelten soll? Eine kleine Hilfestellung wäre nett, da ich die Frage nicht wirklich verstanden habe.
Nach der in meinem vorhergehenden Beitrag beschriebenen Vorgehensweise erhalte ich als Ergebnis : \[\alpha \ = \ 2 \]Für welche Werte von α sind die folgenden Ausdrücke totale Differentiale?
a) \[ y^2 e^{xy^2} \cdot dx + \alpha xy e^{xy^2} dy \]
\[ z_{xy} \ = \ - \ 2 y \ sin \ y^2 \ - \ 4y \ sin \ x \]\[ z_{yx} \ = \ - \ 2y^{\alpha} \ sin \ y^2 \ - \ 4y \ sin \ x \]Für welche Werte von α sind die folgenden Ausdrücke totale Differentiale?
b) \[ (cos y^2 - 2y^2 \sin x) dx + (-2xy^{\alpha} \sin y^2 + 4y \cos x) dy \]