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Zitat von »Torsionswinkel«

Für welche Werte von α sind die folgenden Ausdrücke totale Differentiale?

a) \[ y^2 e^{xy^2} \cdot dx + \alpha xy e^{xy^2} dy \]

b) \[ (cos y^2 - 2y^2 \sin x) dx + (-2xy^{\alpha} \sin y^2 + 4y \cos x) dy \]

Ich weiß zwar, dass totale Differentiale wegunabhängig sind und ich durch den Satz von Schwarz zeigen kann, dass es sich um totale Differentiale handelt, aber woher soll ich wissen für welche Werte von alpha das gelten soll? Eine kleine Hilfestellung wäre nett, da ich die Frage nicht wirklich verstanden habe.

Darf ich vorher einmal an einem einfachen Beispiel zu erklären versuchen, warum es eigentlich geht. Nehmen wir mal eine einfache Stammfunktion der Form : \[ z(x,y) \ = \ x \ y \ + \ C \] also \[d z(x,y) \ = \ ( \ \frac {dz(x,y)}{dx} \ )_y \ dx \ \ + \ ( \ \frac {dz(x,y)}{dy} \ )_x \ dy \] in Kurzfassung also \[d z(x,y) \ = \ z_x \ dx \ + \ z _y\ dy \] speziell für \[ z(x,y) \ = \ x \ y \ + \ C \]\[d z(x,y) \ = \ d(x \ y \ + \ C) \ = \ y \ dx \ + \ x \ dy \] Was zwar die Form eines Differentials hat, dies aber durchaus keines sein muss. Denn ein Differential ist es nur dann , wenn dadurch auch eine Funktion definiert ist, was man im Prinzip in der Weise prüfen könnte, dass man die beiden Summanden wieder dem entsprechend "partiell" integriert und prüft , ob jede der beiden "partiellen" Integrationen zu einer Stammfunktion gleicher Form zurückführt.
Wäre dies nämlich nicht der Fall, dann wäre die Funktion nicht definiert. Und jenseits von allem anderen Brimborium kommt es allein darauf an, ob durch die vermeintliche Differentialform eine bis auf die Konstante C eindeutige Funktion definiert ist. Nun ist zwar in diesem Fall z = xy + C die Integration des Differentials dz = y dx + x dy leicht auszuführen, die diesbezügliche Prozedur in anderen Fällen aber zumindest sehr aufwendig sein kann. Jedenfalls ist Differenzieren in aller Regel sehr viel einfacher als Integrieren . Un so nutzt man den Umstand, dass die Differenzierbarkeit einer Funktion hinreichende Bedingung dafür ist, dass die Funktion integrierbar ist. Und eine Funktion z = z(x,y) ist differenzierbar, wenn die Reihenfolge der Bildung der partiellen Ableitungen kommutativ ist, hier also gilt \[z_{xy } \ = \ z_{yx}\].

Im Fall der Ihnen gegebenen, doch relativ kompliziert erscheinender Ausdrücke kann wie folgt verfahren werden : Was vor dem dx steht, müsste ja die partielle Ableitung nach x, also \[z_x\] sein und dieser Ausdruck bei als konstant angenommenem x nach y abgeleitet demnach zu \[z_{xy } \] führen. Und analog dazu müsste der vor dy stehende Ausdruck \[ z_{y}\] darstellen , dessen Ableitung nach x bei als konstant angenommenem y dann \[ z_{yx}\] ergeben sollte, wenn es denn existiert. Setzt man nun gleich gemäß \[z_{xy } \ = \ z_{yx}\], so erhält man eine Bestimmungsgleichung für den Parameter "alpha" von dem zu prüfen ist, ob es reelle Werte für "alpha" gibt, für die die Gleichung \[z_{xy } \ = \ z_{yx}\] allgemein erfüllt ist.


Gruß FKS

Zitat von »Torsionswinkel«

Für welche Werte von α sind die folgenden Ausdrücke totale Differentiale?

a) \[ y^2 e^{xy^2} \cdot dx + \alpha xy e^{xy^2} dy \]

Nach der in meinem vorhergehenden Beitrag beschriebenen Vorgehensweise erhalte ich als Ergebnis : \[\alpha \ = \ 2 \]
Gruß FKS

\[ z_x (x,y) \ = \ y^2 \ \cdot \ e^{xy^2} \] \[ z_{xy} (x,y) \ = \ ( \ 2y \ + \ y^2 \ \cdot \ 2xy \ ) \ e^{xy^2} \]\[ z_{xy} (x,y) \ = \ 2 \ \cdot \ ( \ y \ + \ y^2 \ \cdot \ xy \ ) \ e^{xy^2} \]
\[ z_y(x,y) \ = \ \alpha \ \cdot \ xy \ \cdot \ e^{xy^2} \]\[ z_{yx}(x,y) \ = \ \alpha \ \cdot \ ( \ y \ + \ xy \ \cdot \ y^2 \ ) \ e^{xy^2} \] Beim Vergleich der dritten mit der fünften Formelzeile erkennt man unschwer, dass\[z_{xy}\ = \ z_{yx} \ \ fuer \ \ \alpha \ = \ 2 \ \] erfüllt ist.
Gruß FKS

Zitat von »Torsionswinkel«

Für welche Werte von α sind die folgenden Ausdrücke totale Differentiale?

b) \[ (cos y^2 - 2y^2 \sin x) dx + (-2xy^{\alpha} \sin y^2 + 4y \cos x) dy \]

\[ z_{xy} \ = \ - \ 2 y \ sin \ y^2 \ - \ 4y \ sin \ x \]\[ z_{yx} \ = \ - \ 2y^{\alpha} \ sin \ y^2 \ - \ 4y \ sin \ x \]
\[ z_{xy} \ = \ z_{yx} \ => \ y^{\alpha} \ = \ y \]\[ y^{\alpha} \ = \ y \ => \ \alpha \ = \ 1 \]
Gruß FKS