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Aufgabe: "Es werden zwei miteinander nicht im Gleichgewicht befindliche Systeme vergliechen, von denen eines Helium, das andere Argon enthält. Ersteres hat eine Temperatur von 300 K. Wie hoch ist die Temperatur des letzteren, wenn die mittleren Geschwindigkeiten der Moleküle in beien Systemen einander gleich sind?"

Quelle:

- Artikel

(Wedler, Gerd: Lehrbuch der physikalischen Chemie. WILEY-VCH GmbH & Co. KGa. 2012, S. 90)

Vorüberlegungen: Da Helium und Argon Edelgase sind und besonders Ersteres von der Molekülmasse her sehr klein ist ist es hier sicherlich angebracht, diese als ideale Gase zu betrachten. Da die mittleren Geschwindigkeiten der idealen Gase gleichgroß könnte man über kinetische Energie folglich einige Beziehungen herleiten um an die Temperatur zu gelangen. Ich erwarte, dass die Temperatur - da beide als ideale Gase behandelt werden - in beiden Fällen diesselbe sein müsste. Zusätzliche Werte habe ich bei den molaren Wärmekapazitäten der Edelgase, jedoch sind diese temperaturunabhängig, weshalb mir das nicht weiterhilft. Ich starte einfach mal.

Mathematischer Ansatz:

Die kinetische Energie lässt sich ausdrücken als:

\[ 1-1 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \epsilon_{trans} = \frac{1}{2} \cdot \ m \ \bar v^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \]

Oder:

\[ 1-2 \quad \ \ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac{1}{2} \cdot \ m_1 \ \bar v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot \ m_2 \ \bar v_2^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \]

Da laut Aufgabenstellung folgendes gelten soll:

\[ 1-3 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar v_1 = \bar v_2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \]

Muss wegen Ausdruck 1-2 aber auch gelten (ich lass die Wurzel mal weg):

\[ 1-4 \quad \quad \quad \ \ \ \ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad
\frac{1}{2} m_1 = \frac{1}{2} m_2\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \]

\[ 1-5 \quad \quad \quad \ \ \ \ \ \ \ \ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad
m_1 = \ m_2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \]

Die Masse eines idealen Gases lässt sich für Standardbedingungen eigentlich mit dem idealen Gasgesetz, pV = nRT, berechnen. Hierzu fehlen aber wichtige Angaben, weshalb dieser Ansatz nicht funktioniert. Bestimmt ist hier ein sehr einfacher Zusammenhang, den ich gerade nicht erkenne. Wie komme ich an die Temperatur des Gases?

Okay, wenn ich mit diesem Ausdruck weiter rechne:

\[{T_1\over T_2}={M_1\over M_2}\]

\[{T_1}={M_1 \cdot T_2 \over M_2}\]

\[{T_1}={M(Ar) \cdot T_2 \over M(He)}\]

\[{T_1}={39,95 \ \frac{g}{mol} \cdot 300 \ K \over 4 \ \frac{g}{mol}}\]

\[{T_1}= 2996,25 \ K \]

\[{T_1} \approx 2996 \ K \]

Okay rein mathematisch ist das ja jetzt nichts großartiges, aber wie kommen Sie auf die ersten beiden Ausdrücke? Ich erkenne das ideale Gasgesetz in Ihrer Gleichung:

\[ pV = nRT \]

\[ p = \frac{n}{V}RT \]

\[ p = c \cdot RT \]

Wo kommt der Rest, insbesondere die Zahl 3, her?

Ach natürlich, darauf hätte ich selbst kommen müssen. Danke für die Antwort! Mich persönlich verwirrt es immer, wenn man die "molaren Größen" genauso notiert wie die Größen an sich. Also V für molares Volumen und das gewöhnliche Volumen zu benutzen, darf ich Sie drum bitten beim nächsten Mal das "molare Volumen" kennzuzeichnen (z.B. durch den Index "M")?

Ich weiß, aber für Anfänger wie mich ist es schwierig ohne korrekte Notation auszukommen, daher meine Bitte. Beispielsweise komme ich mit der Notation im Atkins überhaupt nicht klar, weshalb ich zeitweise zum Wedler übergegangen bin. Übrigens bekommen Sie die TeX-Darstellung mittlerweile sehr gut hin.