Isotherme Expansion mit Gibbsscher Fundamentalform

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DaTei

Beiträge: 18

Registrierungsdatum: 8. Juli 2014

Dienstag, 8. Juli 2014, 15:15

Isotherme Expansion mit Gibbsscher Fundamentalform

Es geht um den Versuch, ausgehend von der Gibbsschen Fundamentalform fuer U(S,V) die Konstanz der inneren Energie bei isothermer Expansion eines idealen Gases zu zeigen. Sie lautet:

Durch Zerlegung des isothermen Expansionsprozesses in adiabatische Expansion und isochore Erwaermung konnte ich ueber die Betrachtung von U(S,V) die Beziehung zeigen. Meine Frage ist, ob es auch einfacher geht.

Die meisten Lehrbuecher gehen von U(T,V) aus:
,
was aber bekanntlich die Gibbssche Funktion von Gas vereinigt mit Entropiereservoir ist.

Es wird nun gezeigt, dass bei isothermen Bedingungen ist und der Term fuer ein ideales Gas verschwindet, dem ich voll und ganz zustimme.

Dies fuehrt schliesslich zu . Kann man denn nun dieses Resultat einfach auf uebertragen? Es scheint vielleicht eine triviale Frage zu sein, aber irgendwie vermag ich das nicht einzusehen.

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Friedrich Karl Schmidt

Beiträge: 1 468

Registrierungsdatum: 8. März 2013

Dienstag, 8. Juli 2014, 19:39

Zitat von »DaTei«

Es geht um den Versuch, ausgehend von der Gibbsschen Fundamentalform fuer U(S,V) die Konstanz der inneren Energie bei isothermer Expansion eines idealen Gases zu zeigen.

\[ d U \ = \ TdS \ - \ p \ dV \]\[ d S_T \ = \ (dS/dV)_T \ dV \]\[ d U_T \ = \ T \ (dS/dV)_T \ dV \ - \ p \ dV \]
\[ d A \ = \ - S \ dT \ - \ p \ dV \] \[ - (dS/dV)_T \ = \ - \ (dp/dT)_V \] \[ T \ (dS/dV)_T \ = \ T(dp/dT)_V \]
\[ d U_T \ = \ T \ (dS/dV)_T \ dV \ - \ p \ dV \]
\[ d U_T \ = \ T ( dp/dT)_V \ dV \ - \ p \ dV\]
\[ p \ = \ nRT/V \ => \ \]
\[ (dp/dT)_V \ = \ \ nR/V \ = \ p/T \]
\[ d U_T \ = \ T \ (dS/dV)_T \ dV \ - \ p \ dV \]
\[ d U_T \ = \ T ( dp/dT)_V \ dV \ - \ p \ dV\]
\[ d U_T \ = \ pdV \ - \ p \ dV\]
\[ d U_T \ = \ 0 \]

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DaTei

Beiträge: 18

Registrierungsdatum: 8. Juli 2014

Mittwoch, 9. Juli 2014, 13:49

Zitat von »Friedrich Karl Schmidt«

\[ d S_T \ = \ (dS/dV)_T \ dV \]\[ d U_T \ = \ T \ (dS/dV)_T \ dV \ - \ p \ dV \]

Ist es hierbei ohne Belang, dass sich das totale Differential von S(T,V) wiederum nicht auf das System Gas, sondern Gas vereinigt mit Entropiereservoir bezieht?

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Friedrich Karl Schmidt

Beiträge: 1 468

Registrierungsdatum: 8. März 2013

Mittwoch, 9. Juli 2014, 18:31

Zitat von »DaTei«

Zitat von »Friedrich Karl Schmidt«

\[ d S_T \ = \ (dS/dV)_T \ dV \]\[ d U_T \ = \ T \ (dS/dV)_T \ dV \ - \ p \ dV \]

Ist es hierbei ohne Belang, dass sich das totale Differential von S(T,V) wiederum nicht auf das System Gas, sondern Gas vereinigt mit Entropiereservoir bezieht?

Das totale Differential dS(T,V) bezieht sich nur auf das "System Gas", wie sich im Übrigen auch dU(S,V) und dU(T,V) nur auf das "System Gas" beziehen. Dass um die Temperatur konstant zu halten , ein Entropieaustausch mit einem Entropiereservoir stattfindet , wird natürlich gleichwohl berücksichtigt. Was ersichtlich wird bei diesem Vergleich:

\[ d U_T \ = \ T \ (dS/dV)_T \ dV \ - \ p \ dV \]\[ d U_S \ = \ - \ p \ dV \]

Gruß FKS