Hallo,
Der Thread ist ja schon älter, u. ich weiss nicht, ob die Frage noch aktuell ist.
Meinst Du mit "initialem Ausdruck" die gemittelte Energie (deine erste Gleichung) ?
Das ist nur ein gewichteter Mittelwert : da nicht alle energetischen Zustände gleich stark besetzt sind, muss jede Energie mit der Zahl der Zustände multipliziert (gewichtet) werden. Um den Mittelwert zu bilden, wird hinterher durch die Zustandssumme dividiert.
Was das Ausbleiben der UV-Katastrophe betrifft, hast Du das mittlerweile herausgefunden ? Bei wikipedia ist es recht gut erklärt. Im alten Rayleigh-Jeans Gesetz gibt es (anders als in Plancks Schwarzkörperstrahlungsgesetz) keinen Nenner, der mit steigender Frequenz die Energiedichte begrenzen würde. D.h. das über die Frequenz integrierte Rayleigh-Jeans Gesetz geht gegen unendlich, wenn man das Plancksche Gesetz einsetzt, erhält man einen konstanten, endlichen Wert.
Zum Proportionalitätsfaktor in der Boltzmannverteilung : wenn Du in deiner zweiten Gleichung einen solchen einfügst, kürzt er sich doch in der 3. heraus.
Ich kann mich noch erinnern, in meinem ersten Jahr einen Essay darüber geschrieben zu haben, damals fand ich alle Informationen im Atkins. Ausnahmsweise empfehle ich dieses Buch dann mal