Der winkelabhängige Teil der Wellenfunktion fur das d_z²-Orbital ist gegeben durch die Kugelflächenfunktion Y_lm für l = 2 und m = 0:
\[ Y_{20}(\vartheta, \varphi) = \sqrt{ \frac{45}{16 \ \pi} } \cdot \left( cos^2(\vartheta) - \frac 1 3 \right) \]
Die Wellenfunktion kann, abhängig vom eingesetzten Azimutalwinkel (ϑ), sowohl positive als auch negative Werte annehmen. Das Orbital besteht dann entweder aus zwei Keulen in z-Richtung, beschrieben durch die positive Wellenfunktion, oder aus einem in der x,y-Ebene liegenden Torus, der durch die negative Wellenfunktion beschrieben wird. Berechnen Sie mit welcher Wahrscheinlichkeit das Elektron in einer der beiden Keulen zu finden ist?
Die Wellenfunktion \[ Y_{20}(\vartheta, \varphi) = \sqrt{ \frac{45}{16 \ \pi} } \cdot \left( cos^2(\vartheta) - \frac 1 3 \right) \] ist positiv für
\[ \left( cos^2(\vartheta) - \frac 1 3 \right) \ > \ 0 \] Woraus sich ergeben sollte. über welchen Bereich des Azimutwinkels man die Integration erstrecken muss, um die Aufenthalswahrscheinlichkeit in den "Keulen" zu bestimmen.
Gruß FKS