Zustandsfunktion und Verknüpfungen EULER'sche Regel ?

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Harve

Beiträge: 213

Registrierungsdatum: 3. November 2015

Mittwoch, 4. November 2015, 22:08

Zustandsfunktion und Verknüpfungen EULER'sche Regel ?

Zitat

Man hat die Zustandsgleichung V(P,T) . Ich soll die drei part. Ableitungen bilden.
dV/dP= -nRT/(P^2) (T=const.)
dV/dT==nR/P (P=const.)

P=NRT/V; dP/dT =NR/V (V=const.)

Dann soll ich die Eulersche Regel und denj schwartzen Satz überprüfen.

beim Schwartzen weiß ich was gemeint ist, aber nicht beim Eulerschen Satz.

Was wird von mir erwartet?

In Bezug auf die EULER'sche Regel kann ich nur dies vermuten :

\[( \ V_T \ )_p \ \cdot \ ( \ T_p \ )_V \ \cdot \ ( \ p_V \ )_T \ = \ - \ 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \]

ausführlich geschrieben :

\[( \ \frac{dV}{dT} \ )_p \ \cdot \ ( \ \frac{dT}{dp}\ )_V \ \cdot \ ( \ \frac {dp}{dV}\ )_T \ = \ - \ 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \]

umgeformt also

\[ \frac { ( \ \frac{dV}{dT} \ )_p } {( \ \frac{dp}{dT}\ )_V } \ = \ - \ ( \ \frac {dV}{dp}\ )_T \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \]

Gruß FKS

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Friedrich Karl Schmidt

Beiträge: 1 468

Registrierungsdatum: 8. März 2013

Donnerstag, 5. November 2015, 05:23

Satz von SCHWARTZ beim idealen Gas

Zitat von »Harve«

Man hat die Zustandsgleichung V(P,T) . Ich soll die drei part. Ableitungen bilden.
dV/dP= -nRT/(P^2) (T=const.)
dV/dT==nR/P (P=const.)
P=NRT/V; dP/dT =NR/V (V=const.)
Dann soll ich die Eulersche Regel und denj schwartzen Satz überprüfen.
beim Schwartzen weiß ich was gemeint ist, aber nicht beim Eulerschen Satz.
Was wird von mir erwartet?

\[ dV(T,p) \ = \ ( \ \frac {dV}{dT} \ )_p \ dT \ + \ ( \ \frac {dV}{dp} \ )_T \ dp \]
Was man im Übrigen auch so abgekürzt schreiben kann:
\[ dV(T,p) \ = \ V_T \ dT \ + \ V_p \ dp \]

Ich nehme an, dass wir hier vom speziellen Fall eines idealen Gases sprechen . Dann ,aber auch nur dann, gilt :

\[ ( \ \frac {dV}{dT} \ )_p \ = \ ( \ \frac {d(nRT/p)}{dT} \ )_p \ = \ \frac {nR}{p} \] sowie
\[ ( \ \frac {dV}{dp} \ )_T \ = \ ( \ \frac {d(nRT/p)}{dp} \ )_T \ = \ \frac { - \ nRT}{p^2} \]

Nun sagt der Satz von SCHWARTZ , dass die Reihenfolge der beiden Differentiationen vertauschen darf. wenn es sich bei dem "Differentialausdruck" um ein vollständiges Differential handelt . Also gilt für

\[dz(x,y) \ = \ z_x \ dx \ + \ z_y \ dy \] \[ z_{xy} \ = \ z_{yx} \]

Auf das konkrete Problem übertragen : wenn man eine Zustandsfunktion wie V(T,p) zuerst nach T und danach den dabei erhaltenen Ausdruck nach p albleitet, so erhält man beim Vertauschen der Differentiationsreihenfolge das gleiche Ergebnis.

Hier also : \[ V_{Tp} \ = \ V_{pT} \] Eingesetzt also \[ \frac {dV_T}{dp} \ = \ ( \ \frac {d(nR/p)}{dp} \ = \ \frac { - \ nR}{p^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \] bzw. \[ \frac {dV_p}{dT} \ = \ \frac {d( - nRT/p^2)}{dT} \ = \ \frac { - \ nR}{p^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \]

Fortsetzung folgt
Gruß FKS

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Harve

Beiträge: 213

Registrierungsdatum: 3. November 2015

Montag, 9. November 2015, 06:53

Zitat von »Harve«

Zitat

Man hat die Zustandsgleichung V(P,T) . Ich soll die drei part. Ableitungen bilden.
dV/dP= -nRT/(P^2) (T=const.)
dV/dT==nR/P (P=const.)

P=NRT/V; dP/dT =NR/V (V=const.)

Dann soll ich die Eulersche Regel und denj schwartzen Satz überprüfen.

beim Schwartzen weiß ich was gemeint ist, aber nicht beim Eulerschen Satz.

Was wird von mir erwartet?

In Bezug auf die EULER'sche Regel kann ich nur dies vermuten :

\[( \ V_T \ )_p \ \cdot \ ( \ T_p \ )_V \ \cdot \ ( \ p_V \ )_T \ = \ - \ 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \]

ausführlich geschrieben :

\[( \ \frac{dV}{dT} \ )_p \ \cdot \ ( \ \frac{dT}{dp}\ )_V \ \cdot \ ( \ \frac {dp}{dV}\ )_T \ = \ - \ 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \]

umgeformt also

\[ \frac { ( \ \frac{dV}{dT} \ )_p } {( \ \frac{dp}{dT}\ )_V } \ = \ - \ ( \ \frac {dV}{dp}\ )_T \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \]

Gruß FKS