Man hat die Zustandsgleichung V(P,T) . Ich soll die drei part. Ableitungen bilden.
dV/dP= -nRT/(P^2) (T=const.)
dV/dT==nR/P (P=const.)
P=NRT/V; dP/dT =NR/V (V=const.)
Dann soll ich die Eulersche Regel und denj schwartzen Satz überprüfen.
beim Schwartzen weiß ich was gemeint ist, aber nicht beim Eulerschen Satz.
Was wird von mir erwartet?
\[ dV(T,p) \ = \ ( \ \frac {dV}{dT} \ )_p \ dT \ + \ ( \ \frac {dV}{dp} \ )_T \ dp \]
Was man im Übrigen auch so abgekürzt schreiben kann:
\[ dV(T,p) \ = \ V_T \ dT \ + \ V_p \ dp \]
Ich nehme an, dass wir hier vom speziellen Fall eines idealen Gases sprechen . Dann ,aber auch nur dann, gilt :
\[ ( \ \frac {dV}{dT} \ )_p \ = \ ( \ \frac {d(nRT/p)}{dT} \ )_p \ = \ \frac {nR}{p} \] sowie
\[ ( \ \frac {dV}{dp} \ )_T \ = \ ( \ \frac {d(nRT/p)}{dp} \ )_T \ = \ \frac { - \ nRT}{p^2} \]
Nun sagt der Satz von SCHWARTZ , dass die Reihenfolge der beiden Differentiationen vertauschen darf. wenn es sich bei dem "Differentialausdruck" um ein vollständiges Differential handelt . Also gilt für
\[dz(x,y) \ = \ z_x \ dx \ + \ z_y \ dy \] \[ z_{xy} \ = \ z_{yx} \]
Auf das konkrete Problem übertragen : wenn man eine Zustandsfunktion wie V(T,p) zuerst nach T und danach den dabei erhaltenen Ausdruck nach p albleitet, so erhält man beim Vertauschen der Differentiationsreihenfolge das gleiche Ergebnis.
Hier also : \[ V_{Tp} \ = \ V_{pT} \] Eingesetzt also \[ \frac {dV_T}{dp} \ = \ ( \ \frac {d(nR/p)}{dp} \ = \ \frac { - \ nR}{p^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \] bzw. \[ \frac {dV_p}{dT} \ = \ \frac {d( - nRT/p^2)}{dT} \ = \ \frac { - \ nR}{p^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \]
Fortsetzung folgt
Gruß FKS