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Zitat von »coriolis«

Die Gesamtenergie eines mathematischen Pendels, welches Schwingungen mit kleiner Amplitude ausführt, ist gegeben durch

\[ E \approx \frac 1 2 m g l \psi_0^2 \]

Verwenden Sie die Näherung \[ \cos(\psi) \approx 1 - \frac 1 2 \psi^2 \] um zu zeigen, dass die o.g. Formel gültig ist.


Wie ist das zu bewerkstelligen ?

Die Energie eines hier als reibungsfrei anzunehmenden Pendels ist wegen der Energieerhaltung in jedem Punkt der Pendelbahn die gleiche. So kann man sich den Punkt aussuchen, an dem die kinetische Energie Null ist. Dort gilt : E = m g h. Nun muss man h ersetzen durch den Winkel. Mit r = L für die Länge des Pendels, gleicbedeutend mit dem Radius der vom Pendel beschriebenen Kreisbahn erhält man \[ r \ - \ h \ = \ r \ cos \psi_0 \] \[ h \ = \ r \ ( 1 \ - \ cos \psi_0 \ )\] mIt r = L folgt \[E \ = \ m \ g \ L \ ( 1 \ - \ cos \psi_0 \ ) \] Einsetzen der Näherung : \[ E \ \approx \ \frac {1}{2} \ m \ g \ L \ \psi_0^2 \]

Gruß FKS