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Gedämpfte Schwingung

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coriolis

unregistriert

1

Donnerstag, 7. Januar 2016, 15:43

Gedämpfte Schwingung

Entschuldigung wegen der vielen doppelten Beiträge. Jetzt sollte es klappen: Bei gedämpften Schwingungen ist zusätzlich die Stoke'sche Reibung, F(Reibung) = - ßx, zu berücksichtigen. Diese ist proportional zu x'(t). Damit hat man dann die Differantialgleichung F(Newton) = F(Reibung) + F(Feder) zu lösen.


a) Berechne das Ergebnis für den aperiodischen Grenzfall mithilfe des Ansatzes \[ x(t) = A \ e^{\lambda t} \]. Hinweis: Beim aperiodischen Grenzfall gilt


\[ \omega = \sqrt{ \frac{y^2}{4} - \omega_0^2 } = 0 \ \ mit \ \ y = \frac{\beta}{m} \ \ und \ \ \omega_0 = \frac k m \]

b) Beim aperiodischen Grenzfall ist der Eigenwert entartet. Finde deshalb eine zweite Lösung für diesen Fall mittels folgendem Ansatz

\[ x(t) = B t e^{\lambda t} \]

c) Bestimme die allgemeine Lösung für den aperiodischen Grenzfall.
d) Bestimme die allgemeine Lösung für die Anfangsbedingungen

\[ x(0) = x_0 \ \ und \ \ \dot x(0) = v_0 \]

Ich verstehe das Thema leider gar nicht.

Friedrich Karl Schmidt

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Beiträge: 1 468

Registrierungsdatum: 8. März 2013

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2

Samstag, 9. Januar 2016, 11:48

Zitat von »coriolis«

a) Berechne das Ergebnis für den aperiodischen Grenzfall mithilfe des Ansatzes \[ x(t) = A \ e^{\lambda t} \]. Hinweis: Beim aperiodischen Grenzfall gilt


\[ \omega = \sqrt{ \frac{y^2}{4} - \omega_0^2 } = 0 \ \ mit \ \ y = \frac{\beta}{m} \ \ und \ \ \omega_0 = \frac k m \]


\[ x(t) \ = \ \ A \ \cdot \ e^{\lambda \ t} \] \[\frac {d x(t)}{dt} \ := \dot x \ = \ \ A \ \lambda \ \cdot \ e^{\lambda \ t} \] \[\frac {d^2 x(t)}{dt^2} \ := \ddot x \ = \ \ A \ \lambda^2 \ \cdot \ e^{\lambda \ t} \]

\[ F(Newton) \ = \ m \ \cdot \ \ddot x \] \[ F(Reibung) \ = \ - \ \beta \ \cdot \ \dot x \] \[ F(Feder ) \ = \ - \ k \ \cdot \ x \] Aus der Bilanz der Kräfte \[ F(Newton) \ = \ F(Reibung) \ + \ F(Feder) \ \] ergibt sich die folgende Differenzialgleichung : \[ m \ \ddot x \ + \ \beta \ \dot x \ + \ k \ x \ = \ 0 \] Nach Einsetzen für x(t) gemäß dem vorgegebenen Lösungsansatz und dessen erster und zweiter Ableitung nach der Zeit sowie dem Ausklammern des Exponential ausdrucks : \[ A \ e^{\lambda \ t } \ [ \ m \ \lambda^2 \ + \ \beta \ \lambda \ + \ k \ ] \ = \ 0 \]\[ m \ \lambda^2 \ + \ \beta \ \lambda \ + \ k \ = \ 0 \] Lösung der quadratischen Gleichung ergibt : \[ \lambda \ = \ - \ \frac {\beta}{2 \ m } \ \pm \ \sqrt {\frac {\beta^2}{4 \ m^2} \ - \ \frac {k}{m}} \] Im aperiodischen Grenzfall wird der Wurzelterm Null : \[ \lambda \ = \ - \ \frac {\beta}{2 \ m } \]


Gruß FKS

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